当实数k为何值时,方程x^2+(2k-1)x+1+k^2=0的两实数根的平方和最小?并求出这两个实数根.

有两个实数根
所以判别式大于等于0
(2k-1)^2-4(1+k^2)>=0
4k^2-4k+1-4-4k^2>=0
4k<=-3
k<=-3/4

x1+x2=-(2k-1),x1*x2=1+k^2
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1*x2
=4k^2-4k+1-2-2k^2
=2k^2-4k-1
=2(k-1)^2-3
k<=-3/4
所以k=-3/4时，x1^2+x2^2最小=25/8

首先方程有2实根
因此Δ=(2k-1)^2-4k^2=1-4k≥0
因此k≤1/4

根据根与系数关系
x1+x2=1-2k
x1x2=k^2
因此x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=(1-2k)^2-2k^2=2k^2+4k+1
对称轴为k=1即当k=1时2k^2+4k+1有最大
但因为有k≤1/4
所以k=1/4时平方和最小为2.125
此时方程为x^2-1/2x+1/16=0
解得x1=x2=1/4(方程有2重根)

判别式≥0，得k≤-3/4
设两根为x1,x2,则x1 ^2 +x2 ^2=(x1+x2)^2-2x1x2
韦达定理：得上式=2k^2-4k-1=2(k-1)^2-3,当k=-3/4时，x1+x2最小是25/8
此时两个根相等=5/4